소인수분해 2 - 고난도의 문제들 풀어보기

원래 오늘 하루를 노는 날로 보내려고 했는데 이틀 연속 놀려니 마음이 좀 찔렸다. 운동을 하고 와서 그런지 마음도 새롭고 산뜻해져서 공부를 하고 싶기도 했다.

오늘은 소인수분해 뒷부분 내용을 정리하고 관련된 문제를 풀어보려고 한다. 토요일에 자주 틀리는 문제들 4개를 정리해서 다시 풀어보았는데, 아직 5개의 문제가 남아있다.

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🏓 오늘의 수학 개념 정리

 

약수의 개수 구하기

두 수의 약수는 도표를 만들어보면 그 원리를 파악할 수 있다. 가로축과 세로축에 각각의 수의 약수를 쓰고 그 수를 가로 세로축으로 곱하면 모든 약수가 나온다.

약수의 개수를 구하는 공식은 한 수의 거듭제곱에 1을 더한 수를 곱하면 된다.

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🏓 자주 틀리는 어려운 문제 풀기

 

🔔 문제 1번

 

105를 소인수분해하여 3, 5, 7까지는 잘 구할 수 있었으나 그 다음이 어려웠다. 어떻게 하면 칼질을 가장 적게 할 수 있는지 생각해보아야 한다.

1번 하면 2조각, 2번 하면 6조각, 3번 하면 6조각이 되므로 칼질은 자른 개수의 -1이 된다.
따라서 12회가 나온다.

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🔔 문제 2번

 

이 문제도 정말 어려운 문제였다. 이 표를 보고 규칙성을 찾아야 한다. 가로축을 보면 모두 1, 2, 3, 4, 5의 배수에 1씩 더한 수임을 알 수 있다.
가로열 뒤에 계속 되는 점점 표시를 해야 하는데 깜박 잊었다. 어쨌든 무한히 반복되고 있다.

그렇다면 4753은 1을 뺀 수가 약수임을 알 수 있다. 이 수를 소인수분해하면 약수의 개수를 구할 수 있고 그 수가 몇 번 나타나는 수가 된다.

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🔔 문제 3번

 

3번 문제는 맞았지만 한번 더 푸는 게 좋을 것 같아 다시 풀어보았다. 약수의 개수가 874개 된다는 건 소인수분해한 인수를 거듭제곱으로 갖는다는 의미이다.

이 수를 나열해보면 총 6개나 나옴을 알 수 있다.

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🔔 문제 4번

 

천의 자리와 백의 자리가 같고, 십의 자리와 일의 자리가 같다고 했으니 이 수는 aabb로 표시할 수 있다.
이 네 가지의 자연수는 10보다 작은 모든 소수를 곱한 수의 배수에 그 소수를 더한 수라고 했으니, 2, 3, 5, 7을 배열하여 식을 만들 수 있다.

이렇게 해서 210k + 17이라는 식이 나왔다. 일의 자리가 7인데 십의 자리도 같다고 했으니 aa77이라는 수가 된다.

또한 7이 십의 자리이므로 n에 들어가는 수를 구해보면 답을 구할 수 있다.
이 문제는 많이 어려워서 다음에 한번 더 풀어볼 생각이다.

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🔔 문제 5번

 

마지막 문제는 다른 여러 문제집에서 많이 보았으나 풀 때마다 못 풀었던 기억이 난다. 사물함이 언제 모두 열리고 닫히는지 파악해야 한다. 처음에는 모두 열려 있고 그 다음에는 2의 배수, 3의 배수인 것 중 열린 것은 닫히고 닫힌 것은 열리게 된다.

모든 사물함이 열린 상태가 되기 위해서는 약수의 개수가 홀수 개이어야 한다. 왜냐하면 1번째, 3번째, 5번째에서 열리기 때문이다.

 

약수의 개수가 홀수 개이려면 자연수의 제곱수여야 한다. 따라서 1부터 100까지의 자연수 중에서 제곱수는 1, 2, 3, ... 10이 되어 열린 상태의 사물함은 모두 10개가 된다.

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오늘의 수학 공부를 마치고

내일 학습을 하려고 했는데 막상 공부를 해보니 재미있었다. 공부도 이틀 이상 쉬게 되면 공부에 대한 감이 떨어지는 것 같다. 앞으로도 어떤 분야가 되었든 프로가 되고 싶은 분야가 있다면, 일주일에 5일 이상은 하고 쉬는 날은 단 하루에 그치도록 훈련해볼 생각이다.

 

나머지 시간에는 지난번에 풀었던 일차방정식 STEP 1 문제를 채점하며 오답노트를 정리해보고 있다. 틀린 문제가 정말 많지만 아직 배울 게 많다는 증거이니 오히려 감사하기로 했다. 세상에는 배울 게 정말 많은 것 같다.

모두 다 알고 잘한다면 이 세상에 살아갈 의미조차 없을 테니까~